Khi mặt của ta bị nhọ ,bẩn, bản thân ta không thể biết. Muốn thấy chính xác vết nhọ như thế nào và muốn tẩy xoá nó,ta cần dùng đến một thứ, đó là cái gương. Cũng vậy, khi người ta muốn bôi son,trát phấn lên khuôn mặt mình,người ta không thể cứ thế mà bôi xằng lên được mà cũng cần một thứ, đó là cái gương. Thực tế là với những việc như vậy người ta đang làm việc trên chính đối tượng mà người ta muốn nhưng lại phải thông qua cái ảnh của đối tượng đó . Trong Toán học hay một số môn khoa học như là Vật lí,Hoá học...cũng thế,có rất nhiều đối tượng rất khó để nghiên cứu trực tiếp  chúng. Vì thế người ta cần nghiên cứu ảnh của chúng thông qua một tác động nào đấy. Tất nhiên sẽ là tuyệt vời nếu như ảnh của chúng lại giữ lại được những tính chất giống như chính chúng thì rõ ràng là chỉ cần làm việc trên cái ảnh ấy sẽ thu được những thông tin về đối tượng ban đầu mà ta mong muốn. Một trong những tác động như vậy ,mà ta sẽ tìm hiểu ngay bây giờ là khái niệm về hàm số. Khái niệm hàm số mà rộng hơn là khái niệm về ánh xạ ,là một khái niệm cực kì quan trọng trong Toán học, một trong những khái niệm giải thoát sự nhận thức kém cỏi của con người....

1. Định nghĩa :

 Cho  là các tập con khác rỗng của . Một quy tắc  đặt tương ứng mỗi  với một và chỉ một  , mà ta thường kí hiệu ,được gọi là một hàm số.

+)  gọi là tập nguồn ( hay còn gọi là tập xác định)

+) gọi là tập đích

+)  gọi là ảnh của  qua  (còn gọi là giá trị của hàm số tại  )

+) gọi là tạo ảnh của 

+) Tập  gọi là tập giá trị của hàm số . Ta thấy ngay rằng . Cần chú ý rằng không phải lúc nào ta cũng có ,nếu có điều đó người ta thường gọi  là toàn ánh

+) Tập  gọi là đồ thị của đồ thị của hàm số . Khi ta biểu diễn tập trên mặt phẳng   toạ độ ta được hình dáng củađồ thị hàm số

Ví dụ:1) Xét quy tắc

có là hàm số hay không? Tìm tập xác định,tập giá trị,đồ thị( vẽ đồ thị) của nó (nếu nó là hàm số)

    2)Với câu hỏi như ở 1) xét các quy tắc

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

   Với các quy tắc ở trên nếu không phải là hàm số hãy tìm cách mở rộng hoặc thu hẹp tập nguồn hoặc tập đích để nó trở thành hàm số

   3) Với các quy tắc sau có phải là hàm số hay không?

    a)  thoả mãn 

    b) thoả mãn 

   Vẽ chúng trên mặt phẳng toạ độ

 .......................

 Chú  ý quan trọng: 

Từ định nghĩa hàm số ta suy ra

 1) Số  khi và chỉ khi tồn tại  sao cho  hay khi và chỉ khi phương trình  có nghiệm trong  hay tổng quát hơn ,phương trình có nghiệm trong miền khi và chỉ khi thuộc vào tập giá trị của xét trên . Điều này cho thấy rằng việc tìm  điều kiện để phương trình  có nghiệm trên  quy về việc tìm tập giá trị của hàm số xét trên miền đó.

2) Số lớn nhất (nhỏ nhất)(nếu có) trong tập giá trị gọi là giá trị lớn nhất( tương ứng : giá trị nhỏ nhất) của hàm số đó. Nếu ta hạn chế hàm số trên một tập  thì ta được khái niệm về giá trị lớn  nhất,nhỏ nhất trên  . Từ  đây ta có thể phiên dịch thành định nghĩa cụ thể

 Số  gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếu 

 Kí hiệu 

  Số gọi là giá trị nhỏ nhất của trên tập nếu

  Kí hiệu 

3) Một đường thẳng song song  hoặc trùng với  cắt đồ thị của hàm số  tại tối đa một điểm. Từ điều này mà về sau ta thấy một tiếp tuyến của đồ thị hàm số  luôn có dạng 

Ví dụ 1: Tìm để phương trình sau có nghiệm

Ví dụ 2:

  Tìm tập giá trị của hàm số

Ví dụ 3:

 Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số 

4) Từ sự quan sát về đồ thì của các hàm số (hình vẽ) ta thấy rằng quan hệ  chính là quan hệ đồ thị của hàm số  nằm phía trên đồ thị của . Điều này dẫn ta đến 

 * Bất phương trình  có nghiệm trên 

 * Bất phương trình  có nghiệm với mọi 

 * Bất phương trình  có nghiệm trên 

 * Bất phương trình  có nghiệm với mọi 

 Ở đây ,ta giả thiết là tồn tại giá trị lớn nhất,nhỏ nhất( Nếu không ,ta cần dùng đến khái niệm cận trên đúng,cận dưới đúng) và ở trên nếu các bất phương trình là ngặt thì các điều kiện tương đương cũng là ngặt

 Ví dụ 1: Tìm  để bất phương trình  

 a) có nghiệm

 b) Có nghiệm với mọi 

 Ví dụ 2: Tìm  để bất phương trình 

 có nghiệm

2. Hàm số đồng biến,nghịch biến

  Hàm số gọi là đồng biến (nghịch biến) trên tập nếu với mọi thì (t.ư: thì   )

Từ định nghĩa suy ra

a)  đồng biến (nghịch biến) trên  thì (tươngứng: ). Điều này có nghĩa là nếu  là hàm số đồng biến( nghịch biến) thì  cùng dấu(tương ứng: ngược dấu) với  . Những biến thể này sẽ cho ta điều kiện cần để hàm số đồng biến ,nghịch biến khi ta học đạo hàm của hàm số ở lớp 11

 b) Nếu  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  thì phương trình  có tối đa một nghiệm trên miền 

  c)Nếu  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  thì

 Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến,nghịch biến của hàm số 

 Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số là hàm số đồng biến

 Ví dụ 3: Biết rằng hàm số  đồng biến khi ,nghịch biến khi . Hãy giải các phương trình ,bất phương trình sau:

a) 

b)

c)

Giải : a)  Xét hàm số  là hàm số đồng biến . Phương trình đã cho viết lại thành  

        b) Sử dụng nhận xét b)

        c) Hàm số là các hàm đồng biến nên theo nhận xét  tươngđương về dâú  ở trên thì bất phương trình đã cho tương đương với  . Đến đây thì OK.

Ý nghĩa hình học:

 Hàm số  đồng biến trên khoảng  ( tại sao chỗ này ta chỉ xét một khoảng???) thì  càng tăng khi  càng tăng. Ta hãy hình dung trên mặt phẳng toạ độ(hình vẽ minh hoạ) khi  đi từ  đến  thì  đi dần lên phía trên,tức là  hướng của đồ thị là đi lên . Để minh hoạ điều đó người ta dùng một cái bảng,ấy là bảng biến thiên . Khi ta xét lân cận của một điểm thì từ quan sát trên,ta thấy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm này là không âm . Vậy nếu hàm số  là đồng biến(hoặc nghịch biến) và đồ thị của nó là đường liền thì tiếp  tuyến của nó tại mỗi  điểm có hệ số góc không âm (không dương). Điều này sẽ được làm sáng tỏ khi ta có công cụ đạo hàm.