Bài 2:

Cho  .CMR 

Bài 2.

Ta có $$ \frac{1}{4}\frac{{(a - b)^2 }}{{a + b}} = \frac{1}{4}\left( {a + b - \frac{{4ab}}{{a + b}}} \right) = \frac{1}{4}\left( {a + b} \right) - \frac{{ab}}{{a + b}}$$

Tương tự ta suy ra BDT cần cm tương đương với BDT sau

$$\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} + \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca}$$

Sử dụng BDT giữa TBC và TBN ta có $$\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{1}{4}\left( {a + b} \right) \ge \sqrt {ab}$$

Cộng hai cái tương tự vào ta có Đpcm.

Bình luận chút về đề thi đại học khối A 2009.

Bài BDT không khó và có nhiều cách giải, tuy nhiên không hay lắm.

Sau đây  là cách giải của mình, chỉ dùng BDT TBC và TBN.

$$(x + y)(x + z) = 4yz \Rightarrow 4yz \ge 4x\sqrt {yz} \Rightarrow x \le \sqrt {yz} \le \frac{{y + z}}{2}.$$

$$(x + y)^3 + (x + z)^3 = (2x + y + z)((x + y)^2 + (x + z)^2 - (x + y)(x + z)).$$

$$(x + y)^2 + (x + z)^2 - (x + y)(x + z) = (y - z)^2 + 4yz = (y + z)^2 .$$

Thực hiện một vài phép cộng và nhân ta có kết quả.

Xin chỉ giáo.

Hôm nay thấy chán lên mạng ghẹo mấy bài BDT thi đại học lòe bọn trẻ con. Hớ hớ hớ.....

Thêm bài này (PXT)

Cho  .Tìm tất cả các số  sao cho 

Bài 3: Cho và . Chứng minh rằng

Bài 4: Cho các số thực và thỏa mãn

   với mọi 

Chứng minh rằng