I. Mở rộng nguyên:

 Trong bài viết này một vành luôn là vành giao hoán và có đơn vị

Ta gọi vành  là đại số trên vành  nếu  là vành con của . Nếu tồn tại  sao cho  thì  gọi là đại số hữu hạn sinh trên . Nếu  là đại số trên  thì  là môđun. Nếu  là môđun hữu hạn sinh thì  là đại số hữư hạn sinh trên . Tính môđun hữư hạn sinh có tính chất bắc cầu

Bổ đề I.1:  Cho  là các vành. Nếu là môđun hữu hạn sinh và là môđun hữu hạn sinh thì là môđun hữư hạn sinh.

 Việc chứng minh bổ đề này là đơn giản.

Tính môđun hữư hạn sinh có liên quan chặt chẽ đến khái niệm sau:

Phần tử  gọi là nguyên trên  nếu nó thoả mãn một phương trình dạng ,

với . Phương trình này gọi là một quan hệ nguyên của  trên 

 Nếu mọi phần tử của  đều nguyên trên  thì ta nói  là mở rộng nguyên trên .

 Một câu hỏi đặt ra là liệu tổng ,hiệu,tích của các phần tử nguyên có là phần tử nguyên hay không?Một cách tổng quát hơn,tập các phần tử nguyên trên  có tính chất gì? Để trả lời câu hỏi đó ta cần định lí sau:

 Định lí I.2: Cho   là đại số hữu hạn sinh trên  . Khi đó các điều kiện sau là tương đương

 (a) nguyên trên 

 (b) là mở rộng nguyên của 

 (c) là môđun hữu hạn sinh

 Chứng minh:

  (a)(c) Bằng quy nạp chỉ cần chứng minh cho . Khi đó , với là phần tử nguyên trên ,nên  hay 

 Như thế mọi  thì  đều là tổ hợp tuyến tính của các phần tử 

 . Do đó mọi  đều là  tổ hợp tuyến tính của  . Thành thử  là môđun sinh bởi 

(c) (b) Gọi là hệ sinh của môđun . Khiđó với mọi ,ta có .Từ đó là nghiệm của hệ phương trình tuýen tính có ma trận hệ số là với .Do đó 

. Vì  là tổ hợp tuyến tính của các  nên phải có 

  hay ,

Vì thế  nguyên trên 

(b)(a). Hiển nhiên.

 Bây giờ ta có

Hệ quả I.3:  Cho là vành con của vành . Khi đó tập gồm tất cả các phần tử của nguyên trên lập thành một vành con của chứa .

Thật vậy ,giả sử  thì theo Định lí I.2  là mở rộng nguyên trên  . Do  đó  .