1) Một đa thức biến là một hàm số có dạng

 Trong đó 

  +) 

  +)  là các hệ số 

  +) Nếu , thì được gọi là bậc cuả đa thức

  +)  là biến ( đại khái là một kí hiệu chưa biết mặt mũi là gì !)

 Một số  được gọi là nghiệm của đa thức  nếu 

  Việc đi tìm tất cả các nghiệm của đa thức  được gọi là việc giải phương trình       

   Trước hết ta nêu ra một số kết quả hết sức quan trọng

 Định lí  Bezout ( Bơ zu)

 Nếu đa thức  có nghiệm thì  trong  đó  là một đa thức

  Chứng minh

  Lấy  chia cho  ta được

 trong đó  là những đa thức và bậc của  . Do đó hoặc  hoặc  với  là hằng số. Tức là ta có thể viết

Vì rằng  nên cho  thì từ đẳng thức trên ta có  . Thành thử

*) Nhận xét :

 Định lí Bezout giúp ta phân tích một đa thức thành nhân tử. Theo trên ta thấy, nếu đa thức  mà nghiệm là  thì trong phân tích thành nhân tử nó phải có nhân tử  . Ngoài ra,cùng với phép Quy nạp toán học nó còn giúp ta chứng minh Mệnh đề sau

 Mệnh đề :

 Nếu đa thức    với có bậc  thì số nghiệm của đa thức là nhỏ hơn hoặc bằng 

 Hệ quả 1

 Nếu đa thức   có nhiều hơn nghiệm thì   ,hay nói một cách tương đương

 Hệ quả 2: 

 Hai đa thức   và

 bằng nhau với mọi  khi và chỉ khi     

*) Một biểu thức  biến   được gọi là đối xứng đối với các biến  nếu khi ta đổi chỗ tất cả các biến cho nhau thì biểu thức nhận được không thay đổi

Các biểu thức  

 ................

là các biểu thức đối xứng ,chúng được gọi là các biểu thức đối xứng cơ bản

 Định lí :

 Mọi biểu thức đối xứng đối với các biến  đều biểu diễn được qua các biểu thức đối xứng cơ bản

Việc chứng minh định lí này khá dài và phức tạp. Có một chứng minh khá ngắn gọn bằng việc áp dụng lí thuyết trường. Tuy thế,ta sẽ không chứng minh  mà  đợi chờ các bạn học đến  Đại học

Ví dụ:

là các biểu thức đối xứng cơ bản đối với  biến 

Các biểu thức sau là các biểu thức đối xứng đối với  biến đó

Đối với  3 biến

là các biểu thức đối xứng cơ bản

 Ta có 

Hãy lấy những ví dụ về các biểu thức đối xứng khác (biểu diễn chúng qua các biểu thức đối xứng cơ bản) và không đối xứng đối với 2 biến

Nhận xét : Nếu biểu thức  là đối xứng đối với các biến  thì  các biến  đó được gọi là có vai trò như nhau. Trong trường hợp này vì khi đổi chỗ tất cả các biến cho nhau,biểu thức đã cho không bị thay đổi . Điều này có lợi ích gì ??? Đó là khi ta phải xét nhiều trường hợp về thứ tự lớn bé giữa các biến,ta hoàn toàn có thể giả sử  và như thế thay vì phải xét nhiều trường hợp ,thậm chí rất nhiều trường hợp,ta lại chỉ cần xét đúng một trường hợp. Điều này rõ ràng đỡ mệt nhọc , giữ gìn được sức khỏe và nhan sắc mà vẫn có thời gian ăn chơi nhảy múa

*) Một biểu thức  gồm  biến được gọi là có tính chất hoán vị vòng quanh nếu . Khi đó các biến  được gọi là có vai trò hoán vị vòng quanh. Trong trường hợp này,thì từ đinh nghĩa ta có thể giả sử   tức là là số lớn nhất trong các số

Ví dụ:  Các biểu thức sau là có tính chất hoán vị vòng quanh

 2) Giải các phương trình đa thức

 Ta bắt đầu với  tức là xét tam thức bậc hai

 (a) Giải phương trình

 Trước khi đi thăm dò nội tạng của vấn đề,chúng mình cần cơ bắp tí nhưng rất có ích

  Ta có            

 Kí hiệu  thì 

 Rất nhiều thứ quan trọng sẽ bắt đầu từ công thức này.

2) Giải phương trình bậc hai

  Từ (1) ta thấy xảy ra 3 trường hợp sau

 +) Nếu  thì do   và nên  

 Vì thế, ta có    . Trường hợp này phương trình vô nghiệm

 +) Nếu  thì  

    Do đó   

 Trường hợp này phương trình  có một nghiệm,nhưng bội 2 ( thiên hạ người ta vẫn gọi là nghiệm kép )

 +) Nếu   thì ta có 

   Từ đó  

                                 hoặc  

  Trường hợp này phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

              và 

 *) Nhận xét 

  Theo trên ta thấy, nếu tam thức có 2 nghiệm thì

 Điều này rất có ích và có thể phát triển cho các đa thức bậc cao hơn. Ta sẽ tạm để dành điều đó về sau,giờ ta hãy nhấm nháp vài điều thú vị mà chắc chắn sẽ làm ta lâng lâng

 Ta hãy áp dụng những điều này vào tam thức bậc 2

  Theo (2) ta có  

 Theo hệ quả 2,ta có

 Như vậy ta hoàn toàn có thể tính   và  mà không cần giải phương trình bậc 2 đó

 Một câu hỏi rất tự nhiên là nếu có  thì liệu  có là nghiệm của một phương trình bậc 2 nào đó hay không??? 

 Từ đẳng thức thứ nhất ta có  thế vào đẳng thức thứ 2 ta có

Như thế,  là nghiệm của phương trình 

 Đổi vai trò  cho  ta kết luận  là nghiệm của phương trình 

Tóm lại ta có

Định lí Viet cho tam thức bậc hai

 (a) Nếu tam thức  có 2 nghiệm thì

 (b) Nếu   thì  là nghiệm của phương trình