Chào mừng quý vị đến với Website của Phạm Xuân Thịnh.

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.
Gốc > Ôn thi > Đại học >

Tích phân nhị thức

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Khi gặp tích phân kiểu \displaystyle{\int x^r\left(ax^s+b\right)^t dx} với r;\;s;\;t\in\mathbb{Q} hãy chú ý đến kết quả dưới đây của Chebyshev.

Định lý Chebyshev: [I]Nguyên hàm \displaystyle{\int x^r\left(ax^s+b\right)^t dx} với r;\;s;\;t\in\Q biểu diễn hữu hạn qua lớp các hàm sơ cấp khi và chỉ khi một trong ba số t;\;\dfrac{r+1}{s};\;t+\dfrac{r+1}{s} là số nguyên. Để hữu tỷ hóa loại nguyên hàm này trong ba trường hợp đó ta cần nhớ:
  • Nếu t\in\mathbb{Z} thì đặt x=u^m với m là mẫu số chung của r và s.
  • Nếu \dfrac{r+1}{s}\in\mathbb{Z} thì đặt ax^s+b=u^M với M là mẫu số của t.
  • Nếu t+\dfrac{r+1}{s}\in\mathbb{Z} thì đặt a+bx^{-s}=u^M với M là mẫu số của t.

II CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Tính \displaystyle{I=\int_0^1\dfrac{\sqrt{x}dx}{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2}}.

Lời giải: Đây chính là tích phân nhị thức trong trường hợp r=\dfrac{1}{2};\;s=\dfrac{1}{3};\;t=-2\in\mathbb{Z}.
Vậy nên đặt x=u^6 ta sẽ có \displaystyle{I=\int_0^1\dfrac{6u^8dx}{\left(1+u^2\right)^2}}.
Để ý rằng \dfrac{6u^8}{\left(1+u^2\right)^2}du=-3u^7\vp\left(\dfrac{1}{1+u^2}\right)=\vp\left(\dfrac{-3u^7}{1+u^2}\right)-\dfrac{\vp(-3...
Lại có \dfrac{\vp(-3u^7)}{1+u^2}=\dfrac{-21u^6du}{1+u^2}=\left(-21u^4+21u^2-21+\dfrac{21}{1+u^2}\right)du
=\vp\left(\dfrac{-21u^5}{5}+7u^3-21u+21\arctan u\right)
Như vậy I=\left.\left(\dfrac{-3u^7}{1+u^2}+\dfrac{21u^5}{5}-7u^3+21u-21\arctan u\right)\right|_0^1=\dfrac{334-105\pi}{20}


Ví dụ 2: Tính \displaystyle{I=\int_1^{\sqrt[3]{\frac{256}{225}}}\sqrt[4]{x^2-\sqrt{x}}dx}.

Lời giải: Ta có \sqrt[4]{x^2-\sqrt{x}}=\sqrt{x}\sqrt[4]{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}^3}}
Để thấy tích phân cần tính chính là tích phân nhị thức trong trường hợp:
r=\dfrac{1}{2};\;s=-\dfrac{3}{2};\;t=\dfrac{1}{4} nhận thấy \dfrac{r+1}{s}\in\mathbb{Z}.
Đặt \sqrt[4]{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}^3}}=u tức là:
x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(1-u^4\right)^2}} ta sẽ có \displaystyle{I=\dfrac{8}{3} \int_0^{\frac{1}{2}} \dfrac{u^4dx}{\left(1-u^4\right)^2}}.
Đến đây lưu ý rằng \dfrac{8u^4}{\left(1-u^4\right)^2}du=-2u\vp\left(\dfrac{1}{u^4-1}\right)=d\left(\dfrac{2u}{1-u^4}\right)+\dfrac{d(2u)}{u^4-1}
=d\left(\dfrac{2u}{1-u^4}\right)+\left(\dfrac{1/2}{u-1}-\dfrac{1/2}{u+1}-\dfrac{1}{u^2+1}\right)du=d\left(\dfrac{2u}{1-u^4}+\....
Như vậy I=\left.\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2u}{1-u^4}+\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-u}{1+u}-\arctan u\right)\right|_0^{1/2}=\dfrac{32-15\ln 3...


Ví dụ 3: Tính \displaystyle{I=\int\dfrac{dx}{x^2\left(\sqrt[3]{1+x^3}\right)^5}}.

Lời giải: Tích phân cần tính chính là tích phân nhị thức trong trường hợp r=-2;\;s=3;\;t=-\dfrac{5}{3}.
Nhận thấy t+\dfrac{r+1}{s}=-2\in\mathbb{Z}
Đặt \sqrt[3]{1+\dfrac{1}{x^3}}=u tức là 1+x^3=u^3x^3 ta sẽ có \displaystyle{I=\int\dfrac{1-u^3}{u^3}}du.
Đến đây không tính được thì đừng đi thi đại học làm gì cho đỡ tắc đường Hà Nội!
Nhắn tin cho tác giả
Phạm Xuân Thịnh @ 23:06 30/06/2010
Số lượt xem: 970
Số lượt thích: 0 người
No_avatar

chả hiểu

bùi danh hiếu @ 22h:10p 02/01/14
 
Gửi ý kiến