Anh sẽ góp ý từng phần một

1) Về định nghĩa của trường hữu hạn:

Không nên định nghĩa thế kia. Theo anh nên đi từ định nghĩa của một trường, rồi đưa ra các ví dụ về trường, chẳng hạn . Sau đó xét đồng cấu vành  từ vành  vào trường , mà 

(phải kiểm tra  là đồng cấu vành). Theo đó . Vì  là miền các ideal chính nên  là một ideal chính của nó. Do đó . Hơn nữa, là một miền nguyên nên làm iền nguyên, hay là một ideal nguyên tố, tức là hoặc là một số nguyên tố.

Nếu , thì . Do đó  chứa  là một miền nguyên, và do đó nó chứa một trường con đẳng cấu với trường phân thức của  là .

Nếu là nguyên tố, thì là một trường và trong trường hợp này chứa một trường con đẳng cấu với .

Mệnh đề. Đối với một trường  bất kì, hoặc nó chứa một trường con đẳng cấu với , trong trường hợp này  có đặc số , hoặc chứa một trường con đẳng cấu với trường hợp này có đặc số .

(chú mày chứng minh nốt về cái đặc số thôi, điều này gần như hiển nhiên)

Mệnh đề. Một trường có đặc số có vô hạn phần tử, trong khi một trường có đặc số chỉ có hữu hạn phần tử.

(Tự chứng minh nhé)

Từ đây mới đi đến định nghĩa về trường hữu hạn.

2) Về mục 2.

Định lí 2.2.1 nên thay bởi một nhận xét thôi, không nên  để nó thành một định lí. Nội dung của nó được suy ra rất đơn giản từ chỗ nhóm nhân có cấp là . Theo đó, mọi phần tử khác đều là nghiệm của đa thức và do đó là nghiệm của đa thức . Rõ ràng, cũng là nghiệm của đa thức này. Tóm lại, mọi phần tử của  đều là nghiệm của đa thức .

Vấn đề đặt ra là liệu tập nghiệm của đa thức có là một trường hay không? Chỗ này nảy ra một vấn đề khá nhạy cảm, ấy là phải xét đa thức ấy trên đâu, các phép toán trên tập nghiệm là gì??? Điều tự nhiên nhất là người ta xét đa thức ấy trên bao đóng đại số của trường và lúc này có lẽ cần trình bày chút xíu về mở rộng trường, trường phân rã và bao đóng đại số. 

Khi xét đa thức ấy trên bao đóng đại số của trường , bản thân nó sẽ có đúng nghiệm phân biệt (Điều này dựa vào đạo hàm, để thấy đa thức đó không có nghiệm lặp). Rồi từ đó chứng minh tập nghiệm này với các phép toán cảm sinh từ các phép toán của bao đóng đại số nêu ở trên, là một trường có đúng phần tử. Cuối cùng, việc khẳng định trường này là trường phân rã của đa thức dẫn tới nó là duy nhất (sai khác một đẳng cấu).